1.
i
Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB. Используя данные рисунка, найдите градусную меру угла BAC треугольника ABC.
1) 62°
2) 68°
3) 34°
4) 64°
5) 28°
РЕШУ ЦТ — математика
Вариант № 50135
2.
i
Пусть O и O1 — центры оснований цилиндра, изображенного на рисунке. Тогда образующей цилиндра является отрезок:
1) DB
2) DC
3) DO1
4) OO1
5) AD
3.
i
Среди точек
выберите ту, которая принадлежит графику функции, изображённому на рисунке:
1) B
2) T
3) C
4) O
5) L
представляет собой прямую, проходящую через точки вида 
Таким образом, единственное подходящее решение — точка T.4.
i
Найдите значение выражения 
1) 0,1
2) -0,7
3) -0,1
4) 0,3
5) -1,5
5.
i
Если 
то 
равно:
1) 13
2) −17
3) 17
4) 21
5) −19
6.
i
На рисунке изображены развернутый угол AOM и лучи OB и OC. Известно, что
Найдите величину угла BOC.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
7.
i
Решите неравенство 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
8.
i
Даны числа: 5100; 0,0051; 5,1 · 10−4; 51 · 103; 0,51 · 105. Укажите число, записанное в стандартном виде.
1) 5100
2) 0,0051
3) 5,1 · 10−4
4) 51 · 103
5) 0,51 · 105
9.
i
На координатной плоскости даны точка А, расположенная в узле сетки, и прямая l (см. рис.). Определите координаты точки, симметричной точке А относительно прямой l.
1) (1; 1)
2) (-1; 0)
3) (-2; 1)
4) (0; 2)
5) (-2; 4)
10.
i
Значение выражения 
равно:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
11.
i
Упростите выражение 
1) 
;
;2) 
;
;3) 
;
;4) 
;
;5) 
.
.
12.
i
Укажите номер рисунка, на котором представлен эскиз графика функции y = 1 − (x + 3)2.
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5) 5
13.
i
Параллельно стороне треугольника, равной 5, проведена прямая. Длина отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника, равна 2. Найдите отношение площади полученной трапеции к площади исходного треугольника.
1) 
2) 0,6
3) 
4) 
5) 
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому 
а тогда 
14.
i
Известно, что наименьшее значение функции, заданной формулой y = x2 + 8x + c, равно −3. Тогда значение c равно:
1) 
2)
3) 
4) 
5) 
Поэтому 
Поскольку y(xв) = −3, имеем:
15.
i
ABCDA1B1C1D1 — куб. Точки M и N — середины ребер AD и DC соответственно, 
(см. рис.). Сечением куба плоскостью, проходящей через точки M, N и K, является:
1) восьмиугольник
2) треугольник
3) четырехугольник
4) пятиугольник
5) шестиугольник
16.
i
Расположите числа 
в порядке возрастания.
1) 
2)
3) 
4) 
5) 
Поскольку все числа положительны, извлечем из каждого корень шестой степени и получим: 
то есть числа 32, 27, 31. Так как 27 < 31 < 32, получаем 
17.
i
График функции, заданной формулой y = kx + b, симметричен относительно оси Oy и проходит через точку A
Значение выражения k + b равно:
1) 
2) 
3) 
4)
5) 
Прямая проходит через точку A с координатами 
отсюда b = 6. Поэтому k + b = 6.18.
i
Укажите (в градусах) наименьший положительный корень уравнения 
1) 5°
2) 102°
3) 17°
4) 42°
5) 7°
19.
i
Витя купил в магазине некоторое количество тетрадей, заплатив за них 24 тысячи рублей. Затем он обнаружил, что в другом магазине тетрадь стоит на 1 тысячу рублей меньше, поэтому, заплатив такую же сумму, он мог бы купить на 2 тетради больше. Сколько тетрадей купил Витя?
Если бы Витя купил тетрадь в другом магазине, то было бы верно равенство 
Решим систему уравнений:
20.
i
Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения 
Тогда:
21.
i
Известно, что при a, равном −2 и 4, значение выражения 
равно нулю. Найдите значение выражения b + с.
22.
i
Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства 
: 
Наименьшим целым решением неравенства является число 3, наибольшим целым решением — число 10, их сумма равна 13.23.
i
Найдите сумму всех натуральных чисел a, для которых выполняется равенство 
поэтому возможные значения a суть числа 2, 4, 6, 12, 18, 36. Проверяя подстановкой, находим значения а, удовлетворяющие равенству: 4, 12 и 36. Сумма найденных чисел равна 52.24.
i
Площадь прямоугольника ABCD равна 20. Точки M, N, P, Q — середины его сторон. Найдите площадь четырехугольника между прямыми AN, BP, CQ, DM.
Поскольку 
(NY — средняя линия), поэтому 
тогда 
25.
i
Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если длина биссектрисы ее основания равна 
и плоский угол при вершине 
Проведем высоту SK, тогда: 
Площадь боковой поверхности равна 
26.
i
Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства 
тогда:
Поэтому наибольшее целое значение — 65, наименьшее целое значение −5, их сумма равна 60.27.
i
В арифметической прогрессии 130 членов, их сумма равна 130, а сумма членов с четными номерами на 130 больше суммы членов с нечетными номерами. Найдите сотый член этой прогрессии.
где d — разность арифметической прогрессии. 
откуда 
Следовательно, согласно условию, имеем:
Получим 
28.
i
Найдите произведение наименьшего и наибольшего целых решений неравенства 
имеем: 
29.
i
Из двух растворов с различным процентным содержанием спирта массой 100 г и 900 г отлили по одинаковому количеству раствора. Каждый из отлитых растворов долили в остаток другого раствора, после чего процентное содержание спирта в обоих растворах стало одинаковым. Найдите, сколько раствора (в граммах) было отлито из каждого раствора.
во втором — 
После переливания масса спирта в 1-ом сосуде равна 
во втором — 
Так как концентрации стали одинаковыми, а объёмы относятся как 1:9, во втором сосуде в 9 раз больше спирта. Тогда:
Тогда 
30.
i
Трое рабочих (не все одинаковой квалификации) выполнили некоторую работу, работая поочередно. Сначала первый из них проработал 
часть времени, необходимого двум другим для выполнения всей работы. Затем второй проработал часть времени, необходимого двум другим для выполнения всей работы. И, наконец, третий проработал часть времени, необходимого двум другим для выполнения всей работы. Во сколько раз быстрее работа была бы выполнена, если бы трое рабочих работали одновременно? В ответ запишите найденное число, умноженное на 4.
времени на выполнение всей работы, в то время, как первый за 
работы. 
времени на выполнение всей работы, в то время, как второй за 
работы. 
времени на выполнение всей работы, в то время, как третий за 
работы. 
то они выполнили бы работу за: 
Поэтому, работая вместе работа была бы выполнена в 
раза быстрее. В ответе будет число 
31.
i
Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС, в котором 
и 
По отрезку из точек В и D одновременно навстречу друг другу с постоянными и неравными скоростями начали движение два тела, которые встретились в точке пересечения биссектрис треугольника АВС и продолжили движение, не меняя направления и скорости. Первое тело достигло точки D на 1 минуту 14 секунд раньше, чем второе достигло точки В. За сколько секунд второе тело прошло весь путь от точки D до точки В?
По свойству биссектрисы получаем, что 
Значит, если 
то 
Значит, можно считать, что скорость первого тела равна 5υ, а второго 3υ. Время движения обратно пропорционально скорости, из условия следует, что 
откуда 
32.
i
Равнобедренная трапеция с основаниями длиной 7 и 3 и острым углом 60° вращается вокруг прямой, содержащей ее боковую сторону. Найдите объем тела вращения V и в ответ запишите значение выражения 
и потому объем двух таких конусов равен 
